Hoy vamos a hablar sobre:

• Las funciones elementales (en general)
• Introducción al concepto de límite

Una función elemental de variable real es una aplicación de un subconjunto D de R en R tal que a cada valor de la variable “x” le hace corresponder un único valor “y”.

Diciendo asi que“x” es la variable independiente e “y” es la variable dependiente o imagen de x Si   y = f(x), también se dice que x = f-1(y) y se dice que “x” es la antimagen de “y”.


DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

 Al conjunto D se le llama dominio de la función y lo representamos por D(f) y es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente “x”.


RECORRIDO O IMAGEN DE UNA FUNCIÓN

 Al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y” se le llama recorrido o imagen de una función y se representa por Im(f) o R(f).


TIPOS DE FUNCIONES ELEMENTALES

• Funciones lineales

           Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0,n). Al número               n se le llama “ordenada en el origen”.

           

• Funciones cuadráticas

           Las funciones y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 llamadas cuadráticas, se representan todas ellas                   mediante parábolas y son continuas en todo R. Cada una de estas parábolas tiene un eje                       paralelo al eje Y. Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más estrecha,...) depende del             coeficiente de la x2 “a”.

           

• Funciones radicales

         Las funciones y = ⺁f(x) se llaman funciones radicales. Su representación gráfica son medias               parábolas.

         

• Funciones exponenciales

         Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = ax , siendo la base a un                   número real positivo distinto de 1. Todas ellas son continuas, están definidas en todo R y pasan           por los puntos (0,1) y (1,a).

         Si a > 1, son crecientes y convexas.

         Si a < 1, son decrecientes y concavas.

         

• Funciones logarítmicas

          Se llama logaritmo en base a de b, y se escribe log a b, al exponente al que hay que elevan la                base a para obtener b. 

          Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se escriben log x.

          Los logaritmos en base e se llaman logaritmos neperianos y se escriben ln x.

          



LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Dada una función f(x), es importante conocer su valor en un punto de su dominio, pero tambien observar el comportamiento de la función en las proximidades de ese punto.

El límite de f(x) en x=a es L, si al tomar valores de x que pertenecen al D(f) cada más próximos al número a, sus imágenes f(x) se acercan tanto como se quiera a L:

                                                                          lim f(x) = L



TIPOS DE LÍMITES

• Límites laterales

          Existen dos tipos de límites laterales:

          Límite por la derecha: se define el límite lateral por la dereccha  de a de la función f(x), y se              expresa como:

 

         al límite al que se acerca  cuando  se acerca a  y toma valores mayores que .

        Límite por la izquierda: Se define el límite lateral por la izquierda de a de la funciónel  f(x) y          se expresa como:

  

       y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando  se acerca a  y toma valores                       menores que a.

       Para que una función  tenga límite en  es necesario y suficiente que existan ambos         límites laterales y coincidan, es decir:

 =  =  

• Límites infinitos

          Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número               real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores                       próximos a a.